Всем добрый день
Что же касается орбит и спутников, то мы заранее предполагаем, что они движутся по поверхности планеты, что логично: он не может пролететь сквозь Землю целым. Но. Что, если мы предположим, что это возможно. Предположим, люди придумали такой материал, который может без сопротивления проходить сквозь другие тела. И сделал из него спутник. И запустили на орбиту. Как будет выглядеть такой курс? Вот это мы сейчас и рассмотрим подробнее
Почему орбиты под землей и над землей отличаются
Чтобы понять, почему траектории будут расходиться, давайте продвинемся немного дальше и вспомним электродинамику. В школьном курсе физики говорят, что если заряд приложить к шару равномерно, то электрическое поле будет только снаружи шара, но не внутри. Нагляднее это показано на картинке:
Видно, что электрическое поле существует только вне сферы. Еще на 3 картинке видно, что если есть 2 шара, то только меньший сделает поле под большим. Если под шары положить заряд q << Q (значительно меньше заряда шара), то шары не будут действовать на заряд (кроме маленького шара на 3-й картинке)
Теперь представим пробный заряд, движущийся внутри заряженного шара. Заряд распределен по объему таким образом, что его плотность зависит только от расстояния от центра (то есть, удаляясь от центра шара на одинаковое расстояние в 2-х случайных направлениях, мы попадем в точки с одинаковыми заряжать). Как определить, с какой силой такой шар действует на заряд? Думаю, все уже догадались: нужно разбить шарик на шар поменьше и толстостенный шар побольше, да так, чтобы пробный заряд был выше первого, но ниже второго:
Зазор на втором изображении представлен для наглядности, в действительности он бесконечно мал
При этом на заряд действует только меньшая сфера, а внешняя сфера никак не касается заряда. Следовательно, если мы сместим заряд внутри сферы, то как изменится заряд тела, действующего на нашу частицу q (очевидно, в самой сфере ничего не меняется, меняются только заряды в уравнениях движения)
Но что мы говорим о налогах и о налогах? Зачем они нам нужны, если мы собираемся смотреть на орбиты и гравитацию? Но почему. Взгляните на формулы для полей и сил электрического и гравитационного взаимодействия:
Формулы отличаются по существу только буквами (ну у гравитации тоже есть минус), а значит то, что я только что говорил о зарядах, работает и для гравитации. То есть на летящий под Землей спутник будет воздействовать только та часть планеты, которая находится под ним, как это было в случае с зарядом в сфере (планеты, в данном случае Земля, считаются сферическими). Что ж, это означает, что теперь мы знаем разницу между движением под землей и над землей и можем составлять уравнения движения
Но перед этим хочу оставить небольшое дополнение для самых диких математиков, тех, кто недоумевает, почему под сферой все-таки нет поля
Нарисуем систему координат с нулем в центре сферы. Проведем вдоль сферы кривую ось l так, чтобы она лежала в плоскости xOy. Будем рассматривать поле в точке, смещенной от нуля по оси Ох (смещение по всем 3 осям эквивалентно смещению по одной из осей, изменятся только значения координат). Точнее, проекции поля на ось Ox, в других направлениях (перпендикулярно к Ox) заведомо нет из-за симметрии:
По оси l разобьем сферу на множество колец толщиной dl, выразим заряд dq на кольцах, затем поле dE каждого из колец, суммируя, короче, все тривиально:
Таким образом, поле находится вне сферы. Если построить график проекции поля, может показаться, что само поле отрицательное, но это не так, просто проекции оказались на оси, противоположной оси Ох
Уравнения движения
Будем рассматривать движение в полярной системе координат, потому что это удобнее, а силами сопротивления пренебрежем, ведь спутник проходит через все. По радиусу (от центра Земли к спутнику) будут действовать всего 2 силы: гравитационная и центробежная:
Нетрудно написать уравнение движения для этого направления, обычный 2-й закон Ньютона. Давайте разберемся, как написать уравнение для угла и угловой скорости. И проще всего это сделать через закон сохранения момента количества движения (импульс есть мера вращательного движения, то есть тот же известный импульс p=m*v, только для вращения). Запишем, продифференцируем и объединим оба уравнения (для радиуса и для угла) в одну систему
Вот уравнения. Почти. В первом выражении мы еще не определили функцию массы планеты от расстояния до ее центра. Масса, которая притягивает, а не вся масса планеты, конечно. И мы определяем это двумя разными способами
Орбиты при постоянной плотности Земли
Начнем с чего-нибудь попроще. Представьте, что плотность постоянна, тогда масса будет иметь простейший вид: умножьте объем сферы с определенным радиусом на плотность.
Обратите внимание: Американская космическая компания SpaceX 28 декабря осуществила успешный запуск ракеты-носителя Falcon 9, которая вывела на орбиту 54 спутника системы Starlink.
Запишем уравнения в таком виде и попробуем решить эту систему с ручками:
Эээ... В поисках аналитического решения меня ждал провал. Сколько ни пытался придумать замены, ничего толкового не вышло. По сути, преобразования, которые вы видите, — это замена переменных: теперь мы смотрим, как радиус зависит от текущего угла. Но тут нас ждет нелинейный диффузор, который не очень хочет попадаться. Кстати, если заполнить уравнение в Вольфраме, то он его решит, вернее, из дифференциала сделает обыкновенным. Просто у обыкновенного уравнения нет аналитического решения, а значит, и у дифференциального. Обидно, но можно было бы и новые законы Кеплера придумать :)
Но давай, напишем уравнения еще раз, только теперь М сделаем кусочно заданным, то есть из радиуса сделаем константой. Это добавит в модель поверхность Земли, и в результате орбита спутника сможет проходить как под, так и над Землей:
Теперь запишем это на языке Вольфрама, смоделируем несколько траекторий...
. и получить эти довольно красивые графики
Честно говоря, не ожидал, что спутник будет летать по таким интересным траекториям. Но да ладно, вы сами можете их увидеть, а я лучше расскажу вам, как они работают.
-
Если спутник летит полностью под землей, его орбита представляет собой эллипс, центр которого совпадает с центром Земли
-
Если спутник движется как под, так и над поверхностью планеты, траектория чередуется из эллипсов (внизу — эллипс с центром в центре Земли, вверху — эллипс с центром Земли в фокусе). Но упрощенно это можно представить так: берем один из вариантов пути и с каждым поворотом поворачиваем путь на угол. Если спутник в основном летает под землей, выбираем орбиту подземного спутника и постоянно ее вращаем. Если большая его часть над землей - вращаем орбиту спутника над землей. Что-то вроде очень сильной прецессии перицентра, хотя конечно прецессия исходит от относительности, а не от подземных полетов :)
Орбиты с реальной плотностью Земли
Конечно, в действительности плотность земли меняется с глубиной. И это тоже надо учитывать
Прежде всего, запишем уравнения движения, они по сути одинаковые, только формула массы другая:
Что ж, теперь нам нужно найти график плотности. В интернете мне удалось найти только одно изображение, на котором показан график зависимости плотности от глубины, его мы и будем использовать
Источник изображения
Выбрав несколько точек из каждого гладкого участка, мы можем использовать интерполяцию для создания функции, аналогичной каждому из участков. Тогда, соединяя отдельные участки с кусочно заданной функцией, мы получаем полноценную функцию плотности, из которой интегрированием можно получить функцию масс. Ну а дальше запускаем Wolfram и вперед... Ан нет! Если мы просто интегрируемся, Wolfram будет ужасно тормозить. Поэтому мы вычисляем массу Земли при конкретных значениях радиуса и из них, опять же интерполяцией, создаем функцию массы. Я решил взять 27 баллов, так как число 6371 делится на 27 (радиус Земли 6371 км):
Код, вычисляющий точки для дальнейшей интерполяции
Теперь давайте напишем другой код. В нем мы будем только интерполировать массу, а также в нем же начнем расчет и вывод траекторий:
И получаем... Еще более красивые графики:
И да, это все уровни, а не просто придуманная красивая графика. Я написал код так, что Вольфрам считает первые 100 000 секунд полета, за которые спутник успевает сделать множество разворотов. Так у вас получатся вот такие красивые кольца или просто симметричные узоры. Кстати, есть графики, аналогичные случаю постоянной плотности:
При переменной плотности путь остается похожим на эллипс, но теперь он вообще всегда вращается. Кстати, можно еще заметить, что если спутник движется в основном под землей, то центр Земли находится вблизи центра эллипса, а если над землей - вблизи фокуса эллипса
Конечно, известны и такие орбиты, как гиперболы, которые получаются, если спутник двигался слишком быстро:
Как самому строить такие траектории
Я предполагаю, что такие красивые графики могут вызвать у вас желание построить их самостоятельно, попробовать разные параметры путей и другие вещи. И в этом случае я решил оставить код для Wolfram Mathematica, с помощью которого можно самостоятельно запускать спутники под землей. На компе, конечно :). Ctrl+C, Ctrl+V, ну и замените нужные цифры:
-
Для постоянной плотности:
Запустите 1 раз перед построением графика: Mass[R_] :=Кусочный[{{4/3*Pi*R^3*5515,3,
R <= 6371000}, {4/3*Pi*6371000^3*5515,3, R > 6371000}}]; г =
6,6743*10^-11
Чтобы построить график, запустите этот код: v0 = 5000; R0 = 3000000; t0 = 100 000; {Rsol, Anglesol} =NDSolveValue{R''[t] == [-Mass[R[t]*G/R[t]^2 + Угол'[t]^2*R[t],
Угол''[t]*R[t] ==-2*Угол'[t]*R'[t], R[0] == R0, R'[0] == 0,
Угол[0] == 0, Угол'[0] == v0/R0}, {R, Угол}, {t, 0,
т[0}]; Параметрический график[{R]sol[t]*Cos[Angle]sol[t],
Rsol[t]*Sin[Ang]lesol[t]}, {t, 0, t0}
-
Для истинной плотности:
Выполнить 1 раз перед построением графика: G = 6,6743*10^-11; Масса1 =Интерполяция[{{0, 0.`}, {277000, 1.0744517007993779`*^21}, {554000,
8.571222130450271`*^21}, {831000,
2,885267529758488`*^22}, {1108000,
6.812693941678381`*^22}, {1385000,
1.3228055620781117`*^23}, {1662000,
2.2688769636597657`*^23}, {1939000,
3,5713166583224284`*^23}, {2216000,
5.277805436217552`*^23}, {2493000,
7.427127437037175`*^23}, {2770000,
1.004267362086633`*^24}, {3047000,
1.3135094662314076`*^24}, {3324000,
1.6704902458405418`*^24}, {3601000,
1,9851416840146975`*^24}, {3878000,
2.2517715781167777`*^24}, {4155000,
2.553574807772751`*^24}, {4432000,
2.890267649063015`*^24}, {4709000,
3.2628481973837735`*^24}, {4986000,
3,669266923530136`*^24}, {5263000,
4.1004733393087503`*^24}, {5540000,
4.5496571419199856`*^24}, {5817000,
5.012527944600733`*^24}, {6094000,
5,451047152511959`*^24}, {6371000, 5,865397752443191`*^24}}];
Масса[R_] :=
Кусочно{{Mass1[R], 0 <= R <= 6371000}, {5,865397752443191`*^24,
R > 6371000}, {0, R < 0}[}]
Чтобы построить график, запустите этот код: v0 = 5000; R0 = 3000000; t0 = 100 000; {Rsol, Anglesol} =NDSolveValue[[{R''[t] == -Mass[[R[t][]*G/R[t]^2 + Угол'[t]^2*R[t],
Угол''[t]*R[t] == -2*Угол'[t]*R'[t], R'[0] == 0, Угол[0] = = 0,
R[0] == R0, Угол'[0] == v0/R0}, {R, Угол}, {t, 0,
т[0}]; Параметрический график[{Rs]ol[t]*Cos[Angle][sol[t]],
Rsol[t]*Sin[A]nglesol[t]}, {t, 0,[ t0}]
Вы сами устанавливаете первые три переменные (v0, R0 и t0), это начальная скорость (м/с), начальное расстояние от центра земли (м) и время (с), до которого будет проходить путь рассчитаны, соответственно изначально будут указаны начальные значения. Также сразу хочу вас предупредить: весь код для одного случая (например, код для постоянной плотности) нужно писать в один файл, но нельзя писать код для другого случая (для переменной плотности) в том же файле
Что-то похожее на заключение
Этот пост заканчивается. Надеюсь материал был понятен и интересен. ну или хотя бы графика радовала глаз) Если есть вопросы - пишите в комментариях и мы во всем разберемся
Всем лучших и побольше аналитических решений)
Больше интересных статей здесь: Космос.
Источник статьи: Как выглядит орбита спутника под землей?.